Question

已知雙曲線W：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，其中一個焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線間的距離為

3

2

，漸近線方程為y=±

3

x
（1）求雙曲線W的方程
（2）過點Q（0，1）的直線l交雙曲線W與A，B兩個不同的點，若坐標(biāo)原點O在以線段AB為直徑的圓外，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用一個焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線間的距離為

3

2

，漸近線方程為y=±

3

x，建立方程組，求得幾何量，即可求得雙曲線的方程；
（2）設(shè)出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由已知可得，

c- a2 c = 3 2 b a = 3 c2=a2+b2

，∴a=1，b=

3

∴雙曲線W的方程為x2-

y2

3

=1；
（2）易知直線斜率存在，設(shè)AB的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y可得（3-k²）x²-2kx-4=0
∴x₁+x₂=

2k

3-k2

，x₁x₂=

-4

3-k2

由

3-k2≠0 4k2+16(3-k2)＞0

，可得k²＜4且k²≠3
∵坐標(biāo)原點O在以線段AB為直徑的圓外，
∴

OA

•

OB

＞0
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=

3k2+1

k2-3

＞0
∴k²＞3
∴3＜k²＜4
∴直線l的斜率范圍為（-2，-

3

）∪（

3

，2）．

點評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．