【題目】已知函數(shù) .

(1)若 ,求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程;

(2)若 處取得極小值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)(2)

【解析】試題分析:

(1)利用導(dǎo)函數(shù)可得切線的斜率為,然后由點(diǎn)斜式可得切線方程為;

(2)首先對(duì)g(x)求導(dǎo),然后分類討論可得實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .

試題解析:

解:(1)當(dāng) 時(shí), ,所以直線 在點(diǎn) 處的切線方程為 .

(2)由已知得 ,則 ,記 ,則 .

①當(dāng) 時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增,所以當(dāng) 時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,所以處取得極小值,滿足題意.

②當(dāng)時(shí), ,當(dāng) 時(shí), ,故函數(shù)單調(diào)遞增,可得當(dāng) 時(shí), 時(shí), ,所以處取得極小值,滿足題意.

③當(dāng)時(shí),當(dāng) 時(shí), 內(nèi)單調(diào)遞增, 時(shí), 內(nèi)單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減,不合題意.

④當(dāng)時(shí),即,當(dāng) 時(shí), 單調(diào)遞減, ,當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減, ,所以處取得極大值,不合題意. 綜上可知,實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .

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