Question

在平面直角坐標系xOy中，已知AB是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，記OM，AB的斜率分別為k_OM，k_AB，則k_OM•k_AB=-

b2

a2

．
（1）類比橢圓的上述性質(zhì)，給出一個在雙曲線中也成立的性質(zhì)；
（2）證明（1）中的結(jié)論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）類比橢圓的性質(zhì)，直接敘述．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），A（x₁，y₁），M（x₀，y₀）利用點差法能證明k_OM•k_AB=

b2

a2

．

解答： （1）解：在平面直角坐標系xOy中，已知AB是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，記OM，AB的斜率分別為k_OM，k_AB，則k_OM•k_AB=

b2

a2

．…（4分）
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），A（x₁，y₁），M（x₀，y₀）
由

x12 a2 - y12 b2 =1 x22 a2 - y22 b2 =1

，得：

x12-x22

a2

-

y12-y22

b2

=0，（6分）
∴

(x1+x2)(x1-x2)

a2

-

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0，
∵M（x₀，y₀）為AB的中點
∴x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，（9分）
∴

2x0(x1-x2)

a2

-

2y0(y1-y2)

b2

=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

b2 x0

a2y0

，（11分）
∵k_OM=

y0

x0

，（13分）
∴k_OM•k_AB=

b2

a2

．（16分）

點評：本題考查雙曲線性質(zhì)的類比敘述，考查兩直線的斜率乘積為定值的證明，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．