Question

如圖，三棱柱中ABC-A₁B₁C₁，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°，點(diǎn)M和N分別為線段A₁B₁和CC₁上的點(diǎn)，且A₁M=2MB₁，MN∥平面A₁BC．求證：
（1）AB⊥A₁C；
（2）CN=2NC₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE，A₁B，A₁E，證明AB⊥面CEA₁，即可證明AB⊥A₁C；
（2）在BB₁上取點(diǎn)H，使BH=2HB₁，連接HN，HM，證明平面MNH∥平面A₁BC，可得NH∥BC，再證明四邊形BHNC為平行四邊形，即可證明CN=2NC₁．

解答： 證明：（1）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE，A₁B，A₁E，
∵AB=AA₁，∠BAA₁=60°，∴△BAA₁=60°是正三角形，
∴A₁E⊥AB，
∵CA=CB，∴CE⊥AB，
∵CE∩A₁E=E，
∴AB⊥面CEA₁，又∵A₁C在平面CEA₁內(nèi)
∴AB⊥A₁C．…（6分）
（2）在BB₁上取點(diǎn)H，使BH=2HB₁，連接HN，HM，
則HM∩MN=M，MH不在平面A₁BC內(nèi)．

∵A₁M=2MB₁，∴MH∥A₁B．
∴MH∥平面A₁BC．…（8分）
又∵M(jìn)N∥平面A₁BC，MN、MH均在平面MNH內(nèi)，
∴平面MNH∥平面A₁BC．…（10分）
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面BB₁C₁C∩平面MNH=NH，
側(cè)面BB₁C₁C∩平面ABC=BC，
∴NH∥BC．…（12分）
再結(jié)合三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱CC₁∥BB₁，可得四邊形BHNC為平行四邊形，進(jìn)而BH=CN．
又∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱CC₁=BB₁，
∴HB₁=NC₁．∴CN=2NC₁．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．