Question

某會議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同.假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關，該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為P₁，壽命為2年以上的概率為P₂.從使用之日起每滿1年進行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換.

（1）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；

（2）在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率；

（3）當P₁=0.8，P₂=0.3時，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率（結果保留兩個有效數字）.

Answer 1

解：（1）在第一次更換燈泡工作中，不需要換燈泡的概率為P₁⁵,需要更換2只燈泡的概率為(1-P₁)²;

（2）對該盞燈來說，在第1、2次都更換了燈泡的概率為（1-P₁）²；在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為P₁(1-P₂)，故所求的概率為P=(1-P₁)²+P₁(1-P₂);

（3）至少換4只燈泡包括換5只和換4只兩種情況，換5只的概率為P ⁵（其中P為（2）中所求，下同）換4只的概率為P⁴（1-P），故至少換4只燈泡的概率為P₃=P⁵+P⁴(1-P)

又當P₁=0.8,P₂=0.3時，P=0.2²+0.8×0.7=0.6，

∴P₃=0.6⁵+5×0.6⁴×0.4=0.34.

即滿2年至少需要換4只燈泡的概率為0.34.