【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求證:在上是單調(diào)遞減函數(shù);
(2)若函數(shù)有兩個(gè)正零點(diǎn)、,求的取值范圍,并證明:.
【答案】(1)見證明;(2)實(shí)數(shù)的取值范圍是,證明見解析.
【解析】
(1)由題意得出在區(qū)間上恒成立,由得出,構(gòu)造函數(shù),證明在區(qū)間上恒成立即可;
(2)由利用參變量分離法得出,將題意轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線與函數(shù)在上有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)求的取值范圍,利用數(shù)形結(jié)合思想求解即可,然后由題意得出,取自然對數(shù)得,等式作差得,利用分析得出所證不等式等價(jià)于,然后構(gòu)造函數(shù)證明即可.
(1),.
由題意知,不等式在區(qū)間上恒成立,
由于,當(dāng)時(shí),,
構(gòu)造函數(shù),其中,則,令,得.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
所以,函數(shù)在處取得極大值,亦即最大值,即,
,所以,.
所以,不等式在區(qū)間上恒成立,
因此,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù);
(2)令,可得
令,則.
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.
,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí)..
時(shí),函數(shù)有兩個(gè)正零點(diǎn),因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
由上知時(shí),,
由題意得,上述等式兩邊取自然對數(shù)得,
兩式作差得,,
要證,即證.
由于,則,即證,
即證,令,即證,其中.
構(gòu)造函數(shù),其中,即證在上恒成立.
,所以,函數(shù)在區(qū)間上恒成立,
所以,,因此,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從集合的所有非空子集中,等可能地取出個(gè).
(1)若,求所取子集的元素既有奇數(shù)又有偶數(shù)的概率;
(2)若,記所取子集的元素個(gè)數(shù)之差為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在國慶周年慶典活動(dòng)中,東城區(qū)教育系統(tǒng)近名師生參與了國慶中心區(qū)合唱、方陣群眾游行、聯(lián)歡晚會(huì)及萬只氣球保障等多項(xiàng)重點(diǎn)任務(wù).設(shè)是參與國慶中心區(qū)合唱的學(xué)校,是參與27方陣群眾游行的學(xué)校,是參與國慶聯(lián)歡晚會(huì)的學(xué)校.請用上述集合之間的運(yùn)算來表示:①既參與國慶中心區(qū)合唱又參與27方陣群眾游行的學(xué)校的集合為_____;②至少參與國慶中心區(qū)合唱與國慶聯(lián)歡晚會(huì)中一項(xiàng)的學(xué)校的集合為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M≥0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)上界.已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合;
(2)若函數(shù)g(x)在[0,+∞)上是以7為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知復(fù)數(shù)z=2016+(1-i)2(其中i為虛數(shù)單位),若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為,且·z1=4+3i.
(1)求復(fù)數(shù)z1;
(2)若z1是關(guān)于x的方程x2-px+q=0的一個(gè)根,求實(shí)數(shù)p,q的值,并求出方程x2-px+q=0的另一個(gè)復(fù)數(shù)根.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的相鄰兩對稱軸間的距離為,若將的圖像先向左平移個(gè)單位,再向下平移個(gè)單位,所得的函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求的解析式;
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物生長,計(jì)劃利用學(xué)校空地建造一間室內(nèi)面積為900m2的矩形溫室,在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域,分別種植三種植物,相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m,三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留 1m 寬的通道,左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留 3m 寬的通道,如圖.設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長為(m),三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為(m2).
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱,是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念,記交通指數(shù)為,其范圍為,分為五個(gè)級別, 暢通; 基本暢通; 輕度擁堵; 中度擁堵; 嚴(yán)重?fù)矶?早高峰時(shí)段(),從某市交通指揮中心隨機(jī)選取了三環(huán)以內(nèi)的50個(gè)交通路段,依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖.
(1)這50個(gè)路段為中度擁堵的有多少個(gè)?
(2)據(jù)此估計(jì),早高峰三環(huán)以內(nèi)的三個(gè)路段至少有一個(gè)是嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌伲?/span>
(3)某人上班路上所用時(shí)間若暢通時(shí)為20分鐘,基本暢通為30分鐘,輕度擁堵為36分鐘,中度擁堵為42分鐘,嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘,求此人所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.
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【題目】為慶祝黨的98歲生日,某高校組織了“歌頌祖國,緊跟黨走”為主題的黨史知識競賽。從參加競賽的學(xué)生中,隨機(jī)抽取40名學(xué)生,將其成績分為六段,,,,,,到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求圖中的值及樣本的中位數(shù)與眾數(shù);
(2)若從競賽成績在與兩個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生,設(shè)這兩名學(xué)生的競賽成績之差的絕對值不大于分為事件,求事件發(fā)生的概率.
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