Question

（2013•大興區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=

x-a

(x-1)2

，x∈（1，+∞）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)f′（x），令f'（x）=0，得x₁=1，或x₂=2a-1．由x＞1，分2a-1≤1，2a-1＞1兩種情況解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）分情況進(jìn)行討論：a≤1時(shí)，由（Ⅰ）知f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減，無(wú)最小值；當(dāng)a＞1時(shí)，再按2a-1≤2，2a-1＞2討論，結(jié)合其圖象及函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)最小值情況；

解答：解：（I）f′(x)=

(x-1)(-x+2a-1)

(x-1)4

，x∈（1，+∞）．
由f'（x）=0，得x₁=1，或x₂=2a-1．
①當(dāng)2a-1≤1，即a≤1時(shí)，在（1，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
②當(dāng)2a-1＞1，即a＞1時(shí)，在（1，2a-1）上，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，在（2a-1，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
綜上所述：a≤1時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（1，+∞）； a＞1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（1，2a-1），f（x）的減區(qū)間為（2a-1，+∞）．
（II）（1）當(dāng)a≤1時(shí)，
由（I）知f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減，不存在最小值；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，
若2a-1≤2，即a≤

3

2

時(shí)，f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減，不存在最小值；
若2a-1＞2，即a＞

3

2

時(shí)，f（x）在[2，2a-1）上單調(diào)遞增，在（2a-1，+∞）上單調(diào)遞減，
因?yàn)?span id="sai222e" class="MathJye">f(2a-1)=

a-1

(2a-2)2

＞0，且當(dāng)x＞2a-1時(shí)，x-a＞a-1＞0，所以x≥2a-1時(shí)，f（x）＞0．
又因?yàn)閒（2）=2-a，所以當(dāng)2-a≤0，即a≥2時(shí)，f（x）有最小值2-a；2-a＞0，即

3

2

＜a＜2時(shí)，f（x）沒(méi)有最小值．
綜上所述：當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）有最小值2-a；當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）沒(méi)有最小值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．