Question

已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：首先由已知條件圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，連接對角線然后由邊長求得夾角的度數(shù)，再分別求得三角形的面積，再求解即可得到答案．

解答：解：如圖：連接BD，則有四邊形ABCD的面積，
S=S△ABD+S△CDB=

1

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AB•ADsinA+

1

2

BC•CDsinC．
∵A+C=180°，∴sinA=sinC．
∴S =

1

2

(AB•AD+BC•CD)sinA=

1

2

(2×4+6×4)sinA=16sinA．
由余弦定理，在△ABD中，
BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=2²+4²-2×2×4cosA=20-16cosA，
在△CDB中  BD²=CB²+CD²-2CB•CDcosC=6²+4²-2×6×4cosC=52-48cosC，
∴20-16cosA=52-48cosC
∵cosC=-cosA，
∴64cosA=-32，cosA=-

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2

，
∴A=120°，
∴S=16sin120°=8

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．
故答案為8

3

．

點評：本小題考查三角函數(shù)的基礎知識以及運用三角形面積公式及余弦定理解三角形的方法，考查運用知識分析問題、解決問題的能力．