Question

已知向量

.

OA

=（1，7），

.

OB

=（5，1），

.

OP

=（2，1），點Q為直線OP上一動點．
（Ⅰ）當

.

QA

⊥

.

OP

，求

.

OQ

的坐標；
（Ⅱ）當

.

OA

•

.

QB

取最小值時，求

.

OQ

的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

OP

=(2，1)可設(shè)OP所在直線方程，點Q在直線OP上，設(shè)出Q點的坐標，用一個字母表示，然后把點的坐標代入

.

QA

⊥

.

OP

即可求解；
（Ⅱ）把

.

OA

•

.

QB

化為含有Q點的坐標的二次函數(shù)，借助于二次函數(shù)求最值．

解答：解：（Ⅰ）由P（2，1）知，直線OP的方程為y=

1

2

x，所以可設(shè)Q（2t，t），
因為

QA

⊥

OP

，所以

QA

•

OP

=0，所以（1-2t，7-t）•（2，1）=0，
所以（1-2t）×2+（7-t）×1=0，解得：t=

9

5

．
所以

OQ

的坐標是(

18

5

，

9

5

)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

QA

•

QB

=5t2-20t+12=5(t-2)2-8
因為t∈R，所以當t=2時，

QA

•

QB

取得最小值，此時

OQ

的坐標是（4，2）．

點評：本題考查了數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，考查了二次函數(shù)求最值的方法，考查了計算能力，是基礎(chǔ)題．