Question

（2013•重慶）如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率，過左焦點F₁作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點，|AA′|=4．

（1）求該橢圓的標準方程；
（2）取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．若PQ⊥P'Q，求圓Q的標準方程．

Answer 1

（1）   （2）

（1）由題意知點A（﹣c，2）在橢圓上，則，即①
∵離心率，∴②
聯(lián)立①②得：，所以b²=8．
把b²=8代入②得，a²=16．
∴橢圓的標準方程為；
（2）設(shè)Q（t，0），圓Q的半徑為r，則圓Q的方程為（x﹣t）²+y²=r²，
不妨取P為第一象限的點，因為PQ⊥P'Q，則P（）（t＞0）．
聯(lián)立，得x²﹣4tx+2t²+16﹣2r²=0．
由△=（﹣4t）²﹣4（2t²+16﹣2r²）=0，得t²+r²=8
又P（）在橢圓上，所以．
整理得，．
代入t²+r²=8，得．
解得：．所以，．
此時．
滿足橢圓上的其余點均在圓Q外．
由對稱性可知，當t＜0時，t=﹣，．
故所求橢圓方程為．