Question

【題目】已知橢圓E：y2＝1（m＞1）的離心率為，過(guò)點(diǎn)P（1，0）的直線(xiàn)與橢圓E交于A，B不同的兩點(diǎn)，直線(xiàn)AA0垂直于直線(xiàn)x＝4，垂足為A0．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）求證：直線(xiàn)A0B恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）m＝4（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）利用即可得解；

（Ⅱ）設(shè)AB方程并與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)直線(xiàn)A0B的方程為點(diǎn)斜式形式，得到定點(diǎn).

（Ⅰ）∵橢圓E：y2＝1（m＞1）的離心率為，

∴m＝4，

（Ⅱ）

當(dāng)直線(xiàn)AB與x軸不重合時(shí)，設(shè)其方程為x＝my+1．A（x1，y1），B（x2，y2），

由（m2+4）y2+2my﹣3＝0．

∴，．

因?yàn)?/span>A0（4，y1），，

所以直線(xiàn)A0B的方程為：y﹣y1，

y

．

∵，∴，

∴直線(xiàn)A0B的方程為：y，

當(dāng)直線(xiàn)AB與x軸重合時(shí)，直線(xiàn)A0B與x軸重合，

綜上，直線(xiàn)A0B恒過(guò)定點(diǎn)（，0）