Question

【題目】已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）定義為，兩點(diǎn)所在直線的斜率，若四邊形為橢圓的內(nèi)接四邊形，且，相交于原點(diǎn)，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意易得和，解出方程組即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，，易得，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立與韋達(dá)定理相結(jié)合可得，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知，的斜率一個(gè)是，另一個(gè)就是，故而可得結(jié)果.

（1）解：設(shè)橢圓：的半焦距為，

因?yàn)闄E圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

所以，即，

因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)到的距離為，所以.

再由解得，，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）證明：設(shè)，，

因?yàn)?/span>，所以，所以.

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，得，

∴，

，

∵，又，

∴，

∴.

整理得，∴.

∵，，，可以輪換，

∴，的斜率一個(gè)是，另一個(gè)就是，

∴