Question

求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形面積．

 

Answer 1

【解析】(1)化整為零，插入等分點(diǎn)．

將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，用分點(diǎn)

，，…，把區(qū)間[0,1]等分成n個(gè)小區(qū)間，，…，，…，.簡(jiǎn)寫作： (i＝1,2，…，n)．

每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δx＝－＝.

過各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作：

ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.

(2)以直代曲，估計(jì)誤差．

用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積．

在小區(qū)間上任取一點(diǎn)xi(i＝1,2，…，n)，

為了計(jì)算方便，取xi為小區(qū)間的左端點(diǎn)，用xi對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(xi)＝為一邊，以小區(qū)間長(zhǎng)度Δx＝為鄰邊的小矩形面積近似代替第i個(gè)小曲邊梯形面積，可以近似地表示為：ΔSi≈f(xi)·Δx＝·(i＝1,2，…，n)．

(3)積零成整，精益求精．

因?yàn)槊恳粋�(gè)小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個(gè)小矩形面積的和，就是曲邊梯形面積S的近似值．即：

S＝i≈ (xi)Δx＝＝－.①

當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目越多，即Δx越小時(shí)，和式①的值就越接近曲邊梯形的面積S.因此，當(dāng)n趨于＋∞時(shí)，即Δx趨于0時(shí)，和式①的極限值就是所求曲邊梯形的面積．

Δx趨于0時(shí)，S趨于－(負(fù)號(hào)表示圖象在x軸下方)．所以，由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形的面積是.