【題目】對于集合,,,,定義.
集合中的元素個(gè)數(shù)記為,當(dāng),稱集合具有性質(zhì).
(1)已知集合,,寫出,的值,并判斷集合是否具有性質(zhì);
(2)設(shè)集合具有性質(zhì),判斷集合中的三個(gè)元素是否能組成等差數(shù)列,請說明理由;
(3)若數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. 數(shù)列中的前100項(xiàng):組成的集合記作,將集合中的所有元素從小到大排序,即滿足,求.
【答案】(1)集合不具有性質(zhì);(2)中的三個(gè)元素不能構(gòu)成等差數(shù)列,見解析;(3)2816
【解析】
(1)根據(jù)定義分別計(jì)算和,再判斷集合是否具有性質(zhì)即可.
(2)根據(jù)集合具有性質(zhì)可知中的元素應(yīng)是:這6個(gè)元素應(yīng)該互不相等. 再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判定矛盾即可.
(3)易得,進(jìn)而可得,再根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算可推導(dǎo)出當(dāng)時(shí),,且,進(jìn)而將集合中的所有元素進(jìn)行排序,再求即可.
(1)因?yàn)?/span>,,所以根據(jù)題目中的定義可知,,
所以,,
又,而,所以集合不具有性質(zhì).
(2)集合中的三個(gè)元素不能組成等差數(shù)列,理由如下:因?yàn)榧?/span>具有性質(zhì),所以,
由題中所給的定義可知:中的元素應(yīng)是:這6個(gè)元素應(yīng)該互不相等.
假設(shè)中的三個(gè)元素能構(gòu)成等差數(shù)列,
若為等差中項(xiàng),則,而均為其中的元素,這與集合中的6個(gè)元素互不相等矛盾;
若或為等差中項(xiàng),同理,矛盾.
故中的三個(gè)元素不能構(gòu)成等差數(shù)列.
(3)因?yàn)閿?shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以.
則,因?yàn)?/span>是單調(diào)遞增數(shù)列,
若,即,即,則,
又,所當(dāng)時(shí),,且.
故根據(jù)定義將集合中的所有元素從小到大排序?yàn)椋?/span>
所以小于等于的元素個(gè)數(shù)為:,
當(dāng)時(shí),即小于等于的數(shù)共有91個(gè)數(shù),顯然不到100個(gè)數(shù),所以第100個(gè)數(shù)為.
因此.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某市管轄的海域內(nèi)有一圓形離岸小島,半徑為1公里,小島中心O到岸邊AM的最近距離OA為2公里.該市規(guī)劃開發(fā)小島為旅游景區(qū),擬在圓形小島區(qū)域邊界上某點(diǎn)B處新建一個(gè)浴場,在海岸上某點(diǎn)C處新建一家五星級酒店,在A處新建一個(gè)碼頭,且使得AB與AC滿足垂直且相等,為方便游客,再建一條跨海高速通道OC連接酒店和小島,設(shè).
(1)設(shè),試將表示成的函數(shù);
(2)若OC越長,景區(qū)的輻射功能越強(qiáng),問當(dāng)為何值時(shí)OC最長,并求出該最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)射線與曲線分別交于兩點(diǎn)(異于原點(diǎn)),定點(diǎn),求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,隨著國家綜合國力的提升和科技的進(jìn)步,截至2018年底,中國鐵路運(yùn)營里程達(dá)13,2萬千米,這個(gè)數(shù)字比1949年增長了5倍;高鐵運(yùn)營里程突破2.9萬千米,占世界高鐵運(yùn)營里程的60%以上,居世界第一位下表截取了2012--2016年中國高鐵密度的發(fā)展情況(單位:千米/萬平方千米).
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
年份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
高鐵密度 | 9.75 | 11.49 | 17.14 | 20.66 | 22.92 |
已知高鐵密度y與年份代碼x之間滿足關(guān)系式(為大于0的常數(shù))若對兩邊取自然對數(shù),得到,可以發(fā)現(xiàn)與線性相關(guān).
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的回歸方程(保留到小數(shù)點(diǎn)后一位);
(2)利用(1)的結(jié)論,預(yù)測到哪一年高鐵密度會(huì)超過30千米/平方千米.
參考公式設(shè)具有線性相關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)為,
則回歸方程的系數(shù):,.
參考數(shù)據(jù):,,,,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),如果方程有兩個(gè)不等實(shí)根,求實(shí)數(shù)t的取值范圍,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)將“□”和“○”按照如下規(guī)律從左到右進(jìn)行排列:若每一個(gè)“□”或“○”占1個(gè)位置,即上述圖形中,第1位是“□”,第4位是“○”,第7位是 “□”,則在第2017位之前(不含第2017位),“○”的個(gè)數(shù)為( )
□,○,□,○,○,○,□,○,○,○,○,○,□,○,○,○,○,○,○,○
A.1970B.1971C.1972D.1973
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:()過點(diǎn)與.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過橢圓的右焦點(diǎn),且傾斜角為的直線和橢圓交于、兩點(diǎn),對于橢圓上任一點(diǎn),若,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過拋物線C:x2=4y的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)P作拋物線的切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,則A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與B點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和的最小值是( )
A.7B.6C.5D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級如表:
質(zhì)量指標(biāo)值m | 25≤m<35 | 15≤m<25或35≤m<45 | 0<m<15或45≤m<65 |
等級 | 一等品 | 二等品 | 三等品 |
某企業(yè)從生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取100件產(chǎn)品作為樣本,檢測其質(zhì)量指標(biāo)值,得到下圖的率分布直方圖.(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
(1)該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量,開展了質(zhì)量提升月”活動(dòng),活動(dòng)后再抽樣檢測,產(chǎn)品三等品數(shù)Y近似滿足Y~H(10,15,100),請測算“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后這種產(chǎn)品的“二等品率“(一、二等品其占全部產(chǎn)品百分比)較活動(dòng)前提高多少個(gè)百分點(diǎn)?
(2)若企業(yè)每件一等品售價(jià)180元,每件二等品售價(jià)150元,每件三等品售價(jià)120元,以樣本中的頻率代替相應(yīng)概率,現(xiàn)有一名聯(lián)客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品,設(shè)其支付的費(fèi)用為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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