Question

某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10m跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線為下圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件），最高處距水面10

2

3

m，入水處距池邊的距離為4m．在某次跳水時(shí)，要求該運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為5m或5m以上時(shí)，必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就會(huì)出現(xiàn)失誤．
（Ⅰ）求這條拋物線的解析式；
（Ⅱ）該運(yùn)動(dòng)員按（Ⅰ）中拋物線運(yùn)行，要使此次跳水不至于失誤，那么運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，距池邊的水平距離至多為多少米？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)模型可設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，根據(jù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、B兩點(diǎn)以及頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為

2

3

，建立方程組，解之即可，注意驗(yàn)證；
（Ⅱ）由題意要使某次跳水不至于失誤，那么運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，距水面高度不小于5m．建立不等式，解之即可求出x范圍，從而求出所求．

解答：解：（Ⅰ）在給定的直角坐標(biāo)系下，設(shè)最高點(diǎn)為A，入水點(diǎn)為B．
拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
由題意知：O、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)依次為（0，0）、（2，-10），且頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為

2

3

，
所以有

c=0 4ac-b2 4a = 2 3 4a+2b+c=-10

解之得

a=- 25 6 b= 10 3 c=0

或

a=- 3 2 b=-2 c=0

∵拋物線對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴-

b

2a

＞0，又∵拋物線開(kāi)口向下，∴a＜0，b＞0，
后一組解舍去．∴a=-

25

6

，b=

10

3

，c=0．
∴拋物線的解析式為y=-

25

6

x2+

10

3

x．
（Ⅱ）由題意要使某次跳水不至于失誤，那么運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，距水面高度不小于5m．
則應(yīng)有y≥-5．即-

25

6

x2+

10

3

x≥-5，解得

2- 34

5

≤x≤

2+ 34

5

∴運(yùn)動(dòng)員此時(shí)距池邊的距離至多為

2+ 34

5

+2=

12+ 34

5

m．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，以及一元二次不等式的解法等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．