Question

設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且（3+4i）•z是純虛數(shù)，且復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．
（I）求復(fù)數(shù)z；
（II）求

. z

z

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi，由復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且（3+4i）•z是純虛數(shù)聯(lián)立方程組求解a，b的值，則復(fù)數(shù)z可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的z代入，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi，因?yàn)閨z|=1，所以a²+b²=1  ①
（3+4i）•z=（3a-4b）+（4a+3b）i，因?yàn)椋?+4i）•z是純虛數(shù)，
所以3a-4b=0且4a+3b≠0  ②
由①②解得

a= 4 5 b= 3 5

或

a=- 4 5 b=- 3 5

（舍）．
所以z=

4

5

+

3

5

i；
（Ⅱ）

. z

z

=

4 5 - 3 5 i

4 5 + 3 5 i

=

7

25

-

24

25

i．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，訓(xùn)練了二元二次方程組的解法，是基礎(chǔ)的運(yùn)算題．