Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，若直線l的參數方程為 （t為參數，α為l的傾斜角），曲線E的極坐標方程為ρ=4sinθ．射線θ=β，θ=β+ ，θ=β﹣ 與曲線E分別交于不同于極點的三點A、B、C．
（1）求證：|OB|+|OC|= |OA|；
（2）當β= 時，直線l過B、C兩點，求y0與α的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意可知丨OA丨=4sinβ，丨OB丨=4sin（β+ ），丨OC丨=4sin（β﹣ ），

則丨OB丨+丨OC丨=4sin（β+ ）+4sin（β﹣ ）=4 sinβ= 丨OA丨，

（2）解：當β= 時，B點的極坐標為（4sin（ + ），（ + ）），

C的極坐標為（4sin（ ﹣ ），（ + ）），

轉化成直角坐標B（﹣ ，1），C（ ，3），

則直線l的方程為x﹣ y+2 =0，

則y0=2，α= ．

【解析】（1）由題意可知求得丨OA丨，丨OB丨及丨OC丨，即可證明|OB|+|OC|= |OA|；（2）當β= 時，求得B和C點坐標，求得直線l的方程，即可求得y0與α的值．