Question

（2012•云南模擬）已知曲線C₁：

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），曲線C₂：

x= 2 2 t y= 2 2 t- 2

（t為參數(shù)），
（1）曲線C₁、C₂是否有公共點(diǎn)，為什么？
（2）若把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來(lái)的一半，分別得到曲線C₁′、C₂′，問(wèn)C₁′與C₂′公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和C₁與C₂公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同？說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析：（1）先利用公式sin²θ+cos²θ=1將參數(shù)θ消去，得到圓的直角坐標(biāo)方程，利用消元法消去參數(shù)t得到直線的普通方程，再根據(jù)圓心到直線的距離與半徑進(jìn)行比較，從而得到C₁與C₂公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）求出壓縮后的參數(shù)方程，再將參數(shù)方程化為普通方程，聯(lián)立直線方程與圓的方程，利用判別式進(jìn)行判定即可．

解答：解：（1）C₁的普通方程為x²+y²=1，圓心C₁（0，0），半徑r=1．…（1分）C₂的普通方程為x-y-

2

=0．…（2分）
因?yàn)閳A心C₁到直線x-y-

2

=0的距離為1，…（4分）
所以C₂與C₁只有一個(gè)公共點(diǎn)．…（5分）
（2）壓縮后的參數(shù)方程分別為C1′：

x= 1 2 cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）； C2′：

x= 2 4 t y= 2 2 t- 2

…（6分）
化為普通方程為：C1′：4x²+y²=1，C2′：y=2x-

2

，…（8分）
聯(lián)立消元得8x2-4

2

x+1=0，其判別式△=(-4

2

)2-4×8×1=0，…（9分）
所以壓縮后的直線C2′與橢圓C1′仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，和C₁與C₂公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相同．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓與直線的參數(shù)方程，以及直線圓的位置關(guān)系的判定，同時(shí)考查了利用判別式進(jìn)行判定兩曲線的公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．