(本小題滿分12分)
如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,且CD=2AB.
(1)若AB=AD=,直線PB與CD所成角為,
①求四棱錐P-ABCD的體積;
②求二面角P-CD-B的大。
(2)若E為線段PC上一點(diǎn),試確定E點(diǎn)的位置,使得平面EBD垂直于平面ABCD,并說明理由.
(1)(1)VP-ABCD=·PA·SABCD=a3.(2)二面角P-CD-B為450.
(2) 當(dāng)點(diǎn)E在線段PC上,且滿足PE :EC="2" :1時,平面EBD垂直于平面ABCD.見解析。
解析試題分析:
(1)∵AB∥CD,∴∠PBA是PB與CD所成角,
從而可以得到VP-ABCD=·PA·SABCD=a3,又因?yàn)?∵AB⊥AD,CD∥AB∴CD⊥AD
又PA⊥底面ABCD∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角,進(jìn)而解得。
(2) 當(dāng)點(diǎn)E在線段PC上,且滿足PE :EC="2" :1時,平面EBD垂直于平面ABCD.
結(jié)合猜想,運(yùn)用面面垂直判定定理得到。
(1)∵AB∥CD,∴∠PBA是PB與CD所成角,
即∠PBA=450 ,∴在直角△PAB中,PA=AB=a
(1)VP-ABCD=·PA·SABCD=a3.
(2)∵AB⊥AD,CD∥AB
∴CD⊥AD
又PA⊥底面ABCD
∴PA⊥CD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角
在直角△PDA中,∵PA=AD=a
∴∠PDA=450
即二面角P-CD-B為450.
(2) 當(dāng)點(diǎn)E在線段PC上,且滿足PE :EC="2" :1時,平面EBD垂直于平面ABCD.
理由如下:連AC、BD交于O點(diǎn),連EO.
由△AOB∽△COD,且CD=2AB
∴CO=2AO
∴PE:EC="AO:CO" =1:2
∴PA∥EO
∵PA⊥底面ABCD,
∴EO⊥底面ABCD.
又EO在平面EBD內(nèi),
∴平面EBD垂直于平面ABCD
考點(diǎn):本題主要考查了空間中體積和二面角的求解,以及面面垂直的證明的綜合運(yùn)用。
點(diǎn)評:解決該試題的關(guān)鍵熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)而得到空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行證明即可,并且也有利于建立空間之間坐標(biāo)系,利用向量的有關(guān)知識解決空間角與空間距離等問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(12分) 已知四棱錐,底面ABCD,其三視圖如下,若M是PD的中點(diǎn)
⑴ 求證:PB//平面MAC;
⑵ 求直線PC與平面MAC所成角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,F(xiàn)D⊥平面ABCD,EB⊥平面ABCD,F(xiàn)D=BE=1,M為BC邊上的動點(diǎn).試探究點(diǎn)M的位置,使F—AE—M為直二面角
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
平行六面體ABCD—A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAD=90º ,
∠BAA1=∠DAA1=60º ,求AC1的長。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點(diǎn)A在PD上的射影為點(diǎn)G,點(diǎn)E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E—PC—A的正弦值.(本題滿分14分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在四棱錐中,⊥平面,,,,,是的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:⊥平面;
(Ⅱ)若直線與平面所成的角和與平面所成的角相等,求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題共2小題,每小題6分,滿分12分)
(1)已知梯形ABCD是直角梯形,按照斜二測畫法畫出它的直觀圖如圖所示,其中,,,求直角梯形以BC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積。
(2)定線段AB所在的直線與定平面α相交,P為直線AB外的一點(diǎn),且P不在α內(nèi),若直線AP、BP與α分別交于C、D點(diǎn),求證:不論P(yáng)在什么位置,直線CD必過一定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(12分)如圖所示,為了制作一個圓柱形燈籠,先要制作4個全等的矩形骨架,
總計耗用9.6米鐵絲,再用平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面)。
(Ⅰ)當(dāng)圓柱底面半徑取何值時,取得最大值?并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01平方米);
(Ⅱ)若要制作一個如圖放置的,底面半徑為0.3米的燈籠,請作出用于燈籠的三視圖(作圖時,不需考慮骨架等因素)。
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