Question

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（1）求的極值；

（2）設(shè)≤，記在上的最大值為，求函數(shù)的最小值；

（3）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)），若使≤≤在上恒成立的實(shí)數(shù)有且只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)和的值．

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，有極大值極小值；(2)；(3) ，.

【解析】

試題分析：(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由得，分區(qū)間列表討論函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性，可求函數(shù)的極值； (2) 由(1)知區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，分與分別求函數(shù)的最大值，再計(jì)算的最小值即可；(3),構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，由得，又，所以，由的唯一性，可得，.

試題解析： (1)

∴當(dāng)變化時(shí)，可以得到如下表格：

		0	—	0
	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴當(dāng)時(shí)，有極大值極小值，

(2)由(1)知區(qū)間分別單調(diào)增，單調(diào)減，單調(diào)增，

所以當(dāng)時(shí)，，特別當(dāng)時(shí)，有；

當(dāng)時(shí)，，則，

所以對(duì)任意的，

（3）由已知得在上恒成立，

則

∴時(shí)，，時(shí)，，

故時(shí)，函數(shù)取到最小值.從而；

在上恒成立，則，

∴時(shí)，，時(shí)，，

故時(shí)，函數(shù)取到最小值.從而，

由的唯一性知，.