Question

函數(shù)f（x）=x³-ax²+的極值點(diǎn)是x₁，x₂，函數(shù)g（x）=x-alnx的極值點(diǎn)是x₀，若x₀+x₁+x₂＜2．
（I ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）若存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)?x₃，x₄∈[1，m]，不等式f（x₃）≤g（x₄）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（I ）∵函數(shù)f（x）=x³-ax²+的極值點(diǎn)是x₁，x₂，，
∴，x₁，x₂是方程的兩個(gè)根，
∴，x₁+x₂=a，
∵g（x）=x-alnx的極值點(diǎn)是x₀，
∴，（x＞0）．
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)．
當(dāng)a＞0，x∈（0，a），g′（x）＜0；當(dāng)x∈（a，+∞），g′（x）＞0，
函數(shù)的極值點(diǎn)x₀=a．
∵x₀+x₁+x₂＜2．
∴，
∴．
（II）∵，
∴g（x）在[1，m]上為增函數(shù)，
∴g（x）_min=g（1）=1．
導(dǎo)函數(shù)f′（x）的對(duì)稱軸為x=，，
∴x₁，x₂都是小于1的正數(shù)，
∵f′（x）=（x-x₁）（x-x₂），令x₁＜x₂，
∵，
∴f（x）在[1，m]上為增函數(shù)，
∴，
∴，
即-27m²a+18m³+4m≤0，
∵m＞1，令h（a）在（）為減函數(shù)，
∴h（1）＜0，即18m³-27m²+4m＜0，
解得，
∴．
分析：（I ）由，x₁，x₂是方程的兩個(gè)根，，x₁+x₂=a，由，（x＞0）．知當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)．當(dāng)a＞0，x∈（0，a），g′（x）＜0；當(dāng)x∈（a，+∞），g′（x）＞0，函數(shù)的極值點(diǎn)x₀=a．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（II）由，知g（x）在[1，m]上為增函數(shù)，故g（x）_min=g（1）=1．導(dǎo)函數(shù)f′（x）的對(duì)稱軸為x=，由此入手能夠求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．