Question

已知函數(shù)f(x)=log3

x2+ax+b

x2+cx+1

，是否存在實數(shù)a、b、c，使f（x）同時滿足下列三個條件：
（1）定義域為R的奇函數(shù)；
（2）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）最大值是1．若存在，求出a、b、c；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：由f（x）是R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，log₃b=0，可得b的值．再利用f（-x）=-f（x），a=-c． 這時f(x)=log3

x2-cx+1

x2+cx+1

在[1，+∞）上是增函數(shù)，且最大值是1．轉(zhuǎn)化為u(x)=

x2-cx+1

x2+cx+1

在[1，+∞）上是增函數(shù)，且最大值是3．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可．

解答：解：由f（x）是R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，log₃b=0，∴b=1．
又∵f（-x）=-f（x），即log3

x2-ax+1

x2-cx+1

=-log3

x2+ax+1

x2+cx+1

，
∴

x2+1-ax

x2+1-cx

=

x2+1+cx

x2+1+ax

?(x2+1)2-a2x2=(x2+1)2-c2x2．
∴a²=c²⇒a=c或a=-c，但a=c時，f（x）=0，不合題意；故a=-c． 
這時f(x)=log3

x2-cx+1

x2+cx+1

在[1，+∞）上是增函數(shù)，且最大值是1．
設(shè)u(x)=

x2-cx+1

x2+cx+1

在[1，+∞）上是增函數(shù)，且最大值是3．
∵u′(x)=

(2x-c)(x2+cx+1)-(2x+c)(x2-cx+1)

(x2+cx+1)2

=

2c(x2-1)

(x2+cx+1)2

=

2c(x+1)(x-1)

(x2+cx+1)2

，
當(dāng)x＞1時，x²-1＞0⇒u'（x）＞0，故c＞0；    
又當(dāng)x＜-1時，u'（x）＞0；當(dāng)x∈（-1，1）時，u'（x）＜0；
故c＞0，又當(dāng)x＜-1時，u'（x）＞0，當(dāng)x∈（-1，1）時，u'（x）＜0．
∴u（x）在（-∞，-1），（1，+∞）是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)．       
又∵x＞1時，x²-cx+1＜x²+cx+1，u（x）＜1，
∴x=-1時，u（x）最大值為3． 
∴

1+c+1

1-c+1

=3，c=1，a=-1．
經(jīng)驗證：a=-1，b=1，c=1時，f（x）符合題設(shè)條件，
∴存在滿足條件的a、b、c，即a=-1，b=1，c=1．

點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)類型的函數(shù)奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，屬于難題．