Question

（10分）C如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD 折成一個直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=，

（Ⅰ）若，求證：AB∥平面CDE；

（Ⅱ）求實數的值，使得二面角A-EC-D的大小為60°．

 

Answer 1

（1）見解析 （2）.

【解析】

試題分析：（1）利用已知的線面平行關系建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算.其中靈活建系是解題的關鍵.（2）證明線面平行，需證線線平行，只需要證明直線的方向向量平行；（3）把向量夾角的余弦值轉化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當的坐標系，實施幾何問題代數化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備.

試題解析：（Ⅰ）如圖建立空間直角坐標系，則

A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（1,1,）,D（0,2,0）,E（0,0,）,

設平面的一個法向量為，

則有，

取時，

，又不在平面內，所以平面；

（Ⅱ）E（0,0,）, ，

設平面的一個法向量為，

則有，取時，

又平面的一個法向量為，

因為二面角的大小為，，

即，解得

又，所以．

考點：（1）證明直線與平面平行；（2）利用空間向量解決二面角問題.