Question

設(shè)函數(shù)f（x-1）=x+x²+x³+…+xⁿ（x≠0，1），且f（x）中所有項(xiàng)的系數(shù)和為a_n，則

lim

n→∞

an

2n

=

2

．

Answer 1

分析：求出表達(dá)式的和，然后求出f（x），利用賦值法求出f（x）中所有項(xiàng)的系數(shù)和為a_n，通過(guò)數(shù)列的極限求出極限值．

解答：解：函數(shù)f（x-1）=x+x²+x³+…+xⁿ=

x(1-xn)

1-x

，所以f（x）=

(x+1)[(x+1)n-1]

x

，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）中所有項(xiàng)的系數(shù)和為a_n=2×（2ⁿ-1）=2×2ⁿ-2，

lim

n→∞

an

2n

=

lim

n→∞

2×2n -2

2n

=2-

lim

n→∞

2

2n

=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，二項(xiàng)式定理、數(shù)列的極限，是綜合題，考查計(jì)算能力．