如圖所示,已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,

AB=BC=PB=PC=2CD,側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明:

(1)PA⊥BD;

(2)平面PAD⊥平面PAB.

證明略


解析:

 (1)取BC的中點(diǎn)O,

∵平面PBC⊥平面ABCD,△PBC為等邊三角形,

∴PO⊥底面ABCD.

以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC所在直線為x軸,過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸,如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.

   

不妨設(shè)CD=1,則AB=BC=2,PO=.

∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0, ).

∴=(-2,-1,0), =(1,-2,- ).

∵·=（-2）×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0,

∴⊥,∴PA⊥BD.

(2)取PA的中點(diǎn)M,連接DM,則M（,-1,）.

∵=（,0, ）, =(1,0,-),

∴·=×1+0×(-2)+ ×(-)=0,

∴⊥,即DM⊥PA.

又·=×1+0×0+×（-）=0，

∴⊥，即DM⊥PB.

又∵PA∩PB=P，∴DM⊥平面PAB，

∵DM平面PAD.

∴平面PAD⊥平面PAB.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2，CD=1，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，點(diǎn)F在線段AP上，且滿足
PF
=λ
PA
．
（1）證明：PA⊥BD；
（2）當(dāng)λ取何值時，直線DF與平面ABCD所成角為30°？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=
12
AB=1．
（1）求證：面PAD⊥面PCD；
（2）求直線PC與面PAD所成角的余弦值；
（3）求AC與PB所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面為正三角形，且平面底面，為中點(diǎn)，求證：

（１）平面；     （２）平面平面．

 


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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆遼寧瓦房店高級中學(xué)高二上期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖所示，已知四棱錐S—ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分別是CD、SC的中點(diǎn)，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，AB=.

（1）求證：MN⊥平面ABN；（2）求二面角A—BN—C的余弦值

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：湖南省長沙市2009-2010學(xué)年度高一第二次單元考試 題型：選擇題

（（10分）．如圖所示，已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，

∠ABC=60°,E,F分別是BC,PC的中點(diǎn).

(1)證明:AE⊥PD;

(2)若H為PD上的動點(diǎn),EH與平面PAD所成最大角的正切值為,

求二面角E—AF—C的余弦值.

 

 

 

 

 

 

 

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