Question

如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1．
（1）求證：面PAD⊥面PCD；
（2）求直線PC與面PAD所成角的余弦值；
（3）求AC與PB所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，證出CD⊥平面PAD，結(jié)合CD是平面PCD內(nèi)的直線，即可得到平面PAD⊥平面PCD；
（2）由（1）知∠CPD就是線PC與面PAD所成角．Rt△PCD中求出PC的長，再利用直角三角形中三角函數(shù)的定義，即可得到直線PC與面PAD所成角的余弦值；
（3）分別以AD、AB、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，可得A、B、C、P各點的坐標，從而得到向量

AC

、

PB

的坐標，由空間向量的夾角公式算出

AC

、

PB

的余弦之值，即得AC與PB所成的角的余弦值．

解答：解：（1）∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴∠ADC=90°，即CD⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA
∵PA、AD是平面PAD內(nèi)的相交直線，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，∴面PAD⊥面PCD；
（2）∵CD⊥平面PAD，得PD是PC在平面PAD內(nèi)的射影
∴∠CPD就是線PC與面PAD所成角
∵CD=1，PD=

2

，
∴Rt△PCD中，PC=

CD2+PD2

=

3

，cos∠CPD=

PD

PC

=

6

3

，
即直線PC與面PAD所成角的余弦值是

6

3

；
（3）分別以AD、AB、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標系如圖
可得A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1）
∴

AC

=（1，1，0），

PB

=（0，2，-1）
可得|

AC

|=

2

，|

PB

|=

5

，

AC

•

PB

=1×0+1×2+0×（-1）=2
∴cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC |•| PB |

=

2

2 × 5

=

10

5

由此可得AC與PB所成的角的余弦值為

10

5

．

點評：本題給出一條側(cè)棱與梯形底面垂直的四棱錐，求證面面垂直并求線面所成的角，著重考查了直線與平面所成的角、平面與平面垂直的判定和異面直線及其所成的角等知識，屬于中檔題．