Question

函數(shù)f（x）=x³+（m-4）x²-3mx+（n-6）的圖象關(guān)于原點對稱．
（1）求m，n的值；
（2）證明：函數(shù)f（x）在[-2，2]上是減函數(shù)；　　注：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）
（3）x∈[-2，2]時，不等式f（x）≥（n-log_ma）•log_ma恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱可知函數(shù)為奇函數(shù)
∴f（0）=0，n=6
f（-x）=-f（x）對任意的x都成立可得f（-1）=-f（1）
∴m=4
（2）由（1）可得f（x）=x³-12x
（法一）設(shè)-2≤x₁＜x₂≤2
則f（x₁）-f（x₂）=x₁³-12x₁-x₂³+12x₂
=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）-12（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-12）
∵-2≤x₁＜x₂≤2
∴x₁-x₂＜0，x₁²+x₁x₂+x₂²-12＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減
（法二）：∵f′（x）=3x²-12=3（x²-4）≤0
∴函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減
（3）由（2）可知函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減
∴f（x）_min=f（2）=-16，f（x）_max=f（-2）=16
∵x∈[-2，2]時，不等式f（x）≥（n-log_ma）•log_ma恒成立，
：（1）由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱可知函數(shù)為奇函數(shù)
∴f（0）=0，n=6
f（-x）=-f（x）對任意的x都成立可得f（-1）=-f（1）
∴m=4
（2）由（1）可得f（x）=x³-12x
（法一）設(shè)-2≤x₁＜x₂≤2
則f（x₁）-f（x₂）=x₁³-12x₁-x₂³+12x₂
=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）-12（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-12）
∵-2≤x₁＜x₂≤2
∴x₁-x₂＜0，x₁²+x₁x₂+x₂²-12＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減
（法二）：∵f′（x）=3x²-12=3（x²-4）≤0
∴函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減
（3）由（2）可知函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減
∴f（x）_min=f（2）=-16，f（x）_max=f（-2）=16
∵x∈[-2，2]時，不等式f（x）≥（n-log_ma）•log_ma恒成立，
∴-16≥（6-log₄a）•log_a4
∴l(xiāng)og_a4≥8或log_a4≤-2
∴或
分析：（1）由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱可知函數(shù)為奇函數(shù)，則可得f（0）=0 可求n，由f（-1）=-f（1）可求m
（2）由（1）可得f（x）=x³-12x
（法一）設(shè)-2≤x₁＜x₂≤2，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，作差比較f（x₁），f（x₂）的大小即可判定
（法二）對函數(shù)求導(dǎo)f′（x）=3x²-12=3（x²-4），判定導(dǎo)數(shù)在[-2，2]上的符號即可判定函數(shù)的單調(diào)性
（3）由（2）可知函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減可知f（x）_min=f（2）=-16，由x∈[-2，2]時，不等式f（x）≥（n-log_ma）•log_ma恒成立，只要-16≥（6-log₄a）•log_a4，可求a
點評：本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的定義法及利用導(dǎo)數(shù)方法的判定，及函數(shù)恒成立與函數(shù)最值求解的相互轉(zhuǎn)化，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用．