Question

已知

a

=（sin（x-

π

4

），cosx），

b

=（cos（x+

π

4

），cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

（Ⅰ）若a∈（-

π

8

，

π

8

）且f（a）=

3 2

10

，求cos2a的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

4

個單位，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在x∈[0，

π

4

]上的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應用

分析：（Ⅰ）由題意先求解析式f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），可得sin2a=

3 2

5

-cos2a，兩邊平方整理可得：50cos²2a-30

2

cos2a-7=0，從而可解得cos2a的值．
（Ⅱ）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換得到函數(shù)解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

•

b

=sin（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）+cos²x=-

1

2

（sinx-cosx）²+cos²x=

1

2

（sin2x+cos2x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），
∵f（a）=

2

2

sin（2a+

π

4

）=

3 2

10

，整理可得：sin2a=

3 2

5

-cos2a，
∴兩邊平方整理可得：50cos²2a-30

2

cos2a-7=0，
∵a∈（-

π

8

，

π

8

）∴2a∈（-

π

4

，

π

4

）
∴可解得：cos2a=

7 2

10

．
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

4

個單位，得到的函數(shù)解析式為：y=

2

2

sin[2（x+

π

4

）+

π

4

]=

2

2

cos（2x+

π

4

），
再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半（縱坐標不變），得到函數(shù)解析式為：y=g（x）=

2

2

cos（4x+

π

4

），
∵x∈[0，

π

4

]
∴4x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
∴cos（4x+

π

4

）∈[-1，

2

2

]
∴

2

2

sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，

1

2

]．

點評：本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)中的恒等變換應用，綜合性強，屬于中檔題．