Question

如圖，已知四棱錐，底面為菱形，
平面，，分別是的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值．

Answer 1

(1）詳見(jiàn)解析;(2）.

試題分析：（1）要證明AE⊥PD，我們可能證明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我們只要能證明AE⊥AD即可，由于底面ABCD為菱形，故我們可以轉(zhuǎn)化為證明AE⊥BC，由已知易我們不難得到結(jié)論．
（2）由EH與平面PAD所成最大角的正切值為，我們分析后可得PA的值，由（1）的結(jié)論，我們進(jìn)而可以證明平面PAC⊥平面ABCD，則過(guò)E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過(guò)O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，然后我們解三角形ASO，即可求出二面角E-AF-C的余弦值.
（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045222319160.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，所以．
又，因此．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045222054216.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，
所以．    5分
（2）由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以

，
，
所以．    8分
設(shè)平面的一法向量為，
則因此
取，則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045222849268.png" style="vertical-align:middle;" />，，，所以平面，
故為平面的一法向量．
又，所以．  10分
因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045222210276.png" style="vertical-align:middle;" />為銳角，所以所求二面角的余弦值為．  12分.