(2008•上海一模)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,我們學(xué)習(xí)過(guò)方差的概念,其計(jì)算公式為
σ
2
 
=
1
N
[(x1)2+(x2)2+…+(xn)2]
,并且知道,其中μ=
1
N
(x1+x2+…+xn)
為x1、x2、…、xn的平均值.
類似地,現(xiàn)定義“絕對(duì)差”的概念如下:設(shè)有n個(gè)實(shí)數(shù)x1、x2、…、xn,稱函數(shù)g(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|為此n個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)差.
(1)設(shè)有函數(shù)g(x)=|x+1|+|x-1|+|x-2|,試問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí),函數(shù)g(x)取到最小值,并求最小值;
(2)設(shè)有函數(shù)g(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-x2|,(x∈R,x1<x2<…<xn∈R),
試問(wèn):當(dāng)x為何值時(shí),函數(shù)g(x)取到最小值,并求最小值;
(3)若對(duì)各項(xiàng)絕對(duì)值前的系數(shù)進(jìn)行變化,試求函數(shù)f(x)=3|x+3|+2|x-1|-4|x-5|(x∈R)的最值;
(4)受(3)的啟發(fā),試對(duì)(2)作一個(gè)推廣,給出“加權(quán)絕對(duì)差”的定義,并討論該函數(shù)的最值(寫出結(jié)果即可).
分析:(1)根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間討論法化簡(jiǎn)g(x)然后做出其圖象依據(jù)圖象即可求出最小值.
(2)將g(x)首尾兩項(xiàng)結(jié)合再利用絕對(duì)值的幾何意義可得當(dāng)x取中間的數(shù)時(shí)g(x)最小而中間的數(shù)要視n的奇偶性而定故要對(duì)n的奇偶性討論.
(3)根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間討論法化簡(jiǎn)f(x)然后做出其圖象依據(jù)圖象的性質(zhì)即可求出最值.
(4)根據(jù)函數(shù)f(x)=3|x+3|+2|x-1|-4|x-5|(x∈R)可知由于3+2+(-4)=1>0則f(x)min存在f(x)max不存在故可構(gòu)造函數(shù)f(x)=a1|x-x1|+a2|x-x2|+…+an|x-xn|(x∈R,x1<x2<…<xn∈R)為n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,…xn的加權(quán)絕對(duì)值然后結(jié)合a1+a2+…+an的取值情況給出結(jié)論即可.
解答:解:(1)g(x)=
2-3x,x<-1
4-x,-1≤x<1
2+x,1≤x<2
3x-2,x≥2
,由單調(diào)性可知(或由圖象可知)
當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)g(x)取得最小值,g(x)min=g(1)=3;
(2)若n為奇數(shù),則當(dāng)x=
x
 
n+1
2
時(shí),有g(x
)
 
min
=g(
x
 
n+1
2
)=
n
i=
n+1
2
+1
x
 
i
-
n+1
2
-1
i=1
x
 
i

若n為偶數(shù),則當(dāng)x∈[
x
 
n
2
x
 
n
2
+1
]
時(shí),有g(x
)
 
min
=g(
x
 
n
2
)=
n
i=
n
2
+1
x
 
i
-
n+1
2
i=1
x
 
i

(3)由y=f(x)=
-x-27,x<-3
5x-11,-3≤x<1
9x-13,1≤x<5
x+27,x≥5
⇒f(x)min=f(-3)=-26,f(x)max不存在.
(4)設(shè)a1,a2,…,an為實(shí)數(shù),定義函數(shù)f(x)=a1|x-x1|+a2|x-x2|+…+an|x-xn|(x∈R,x1<x2<…<xn∈R)為n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,…xn的加權(quán)絕對(duì)值;
以下求該函數(shù)的最值:
f(x)=a1|x-x1|+a2|x-x2|+…+an|x-xn|=
-(
a
 
1
+
a
 
2
+…
a
 
n
)x+(
a
 
1
x
 
1
+
a
 
2
x
 
2
+…+
a
 
n
x
 
n
)x≤
x
 
1
[
a
 
1
-(
a
 
2
+…+
a
 
n
)]x+(-
a
 
1
x
 
1
+
a
 
2
x
 
2
+…+
a
 
n
x
 
n
)
x
 
1
<x≤
x
 
2
(
a
 
1
+
a
 
2
+…
a
 
n
)x-(
a
 
1
x
 
1
+
a
 
2
x
 
2
+…+
a
 
n
x
 
n
)x>
x
 
n

當(dāng)a1+a2+…+an<0時(shí),f(x)max=max{f(x1),f(x2),…,f(xn)},f(x)min不存在;
當(dāng)a1+a2+…+an>0時(shí),f(x)min=min{f(x1),f(x2),…,f(xn)},f(x)max不存在;
當(dāng)a1+a2+…+an=0時(shí),
f(x
)
 
max
=max{f(
x
 
1
),f(
x
 
2
),…,f(
x
 
n
)},
f(x
)
 
min
=min{f(
x
 
1
),f(
x
 
2
),…,f(
x
 
n
)}.
點(diǎn)評(píng):本題屬新定義題.解題的關(guān)鍵是要分析新定義的內(nèi)容,然后結(jié)合現(xiàn)有的知識(shí)去進(jìn)行求解;比如第一問(wèn)、第三問(wèn);而第二第四問(wèn)分別是第一第三問(wèn)的推廣這要求對(duì)第一第三問(wèn)分析理解透徹.
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(2008•上海一模)觀察數(shù)列:
①1,-1,1,-1,…;
②正整數(shù)依次被4除所得余數(shù)構(gòu)成的數(shù)列1,2,3,0,1,2,3,0,…;
③an=tan
3
,n=1,2,3,…
(1)對(duì)以上這些數(shù)列所共有的周期特征,請(qǐng)你類比周期函數(shù)的定義,為這類數(shù)列下一個(gè)周期數(shù)列的定義:對(duì)于數(shù)列{an},如果
存在正整數(shù)T
存在正整數(shù)T
,對(duì)于一切正整數(shù)n都滿足
an+T=an
an+T=an
成立,則稱數(shù)列{an}是以T為周期的周期數(shù)列;
(2)若數(shù)列{an}滿足an+2=an+1-an,n∈N*,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,且S2=2008,S3=2010,證明{an}為周期數(shù)列,并求S2008;
(3)若數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=p,p∈[0,
1
2
),且an+1=2an(1-an),n∈N*,判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2008•上海一模)用1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶不同,這樣的六位數(shù)共有
72
72
個(gè)(用數(shù)字作答).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2008•上海一模)規(guī)定矩陣A3=A•A•A,若矩陣
1x
01
3
=
11
01
,則x的值是
1
3
1
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2008•上海一模)已知{an}為等差數(shù)列,a2+a8=12,則a5=
6
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2008•上海一模)若函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)y=f-1(x),且函數(shù)y=tan
πx
6
-f(x)
的圖象過(guò)點(diǎn)(2,
3
-3)
,則函數(shù)y=f-1(x)的圖象一定過(guò)點(diǎn)
(3,2)
(3,2)

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