精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

橢圓 $數(shù)學(xué)公式$ （a＞b＞0）與x軸，y軸的正半輛分別交于A，B兩點，原點O到直線AB的距離為 $數(shù)學(xué)公式$ ，該橢圓的離心率為 $數(shù)學(xué)公式$ ．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點 $數(shù)學(xué)公式$ 的直線l與橢圓交于兩個不同的點M，N，求線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍．

解：（Ⅰ）設(shè)直線AB的方程為bx+ay-ab=0
∵原點O到直線AB的距離為 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ①
∵橢圓的離心率為 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ②
由①②可得：a=2，b=1
∴橢圓的方程為 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）當(dāng)直線斜率不存在時，線段MN的垂直平分線的縱截距為0
當(dāng)直線斜率k存在時，設(shè)直線l的方程為 $\text{[math]}$ ，代入 $\text{[math]}$ ，消去y得（9+36k²）x²+120kx+64=0
∵△=14400k²-256（9+36k²）＞0，∴ $\text{[math]}$
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為Q（x₀，y₀）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴Q $\text{[math]}$
∴線段MN的垂直平分線方程為 $\text{[math]}$
令x=0，則y= $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，可得- $\text{[math]}$
∴線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍為 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）設(shè)直線AB的方程為bx+ay-ab=0，利用原點O到直線AB的距離為 $\text{[math]}$ ，橢圓的離心率為 $\text{[math]}$ ，建立方程可求a、b的值，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線斜率不存在時，線段MN的垂直平分線的縱截距為0；當(dāng)直線斜率k存在時，設(shè)直線l的方程為 $\text{[math]}$ ，代入 $\text{[math]}$ ，消去y得（9+36k²）x²+120kx+64=0，進(jìn)而可求線段MN的垂直平分線方程，由此即可求得線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍．
點評：本題綜合考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定線段MN的垂直平分線．

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