【題目】如圖，已知拋物線，設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)且與拋物線相交于兩點(diǎn)，拋物線在、兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，直線，分別與軸交于、兩點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程

（2）當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，記的面積為，的面積為，求的最小值.

【答案】（1）（2）4

【解析】

（1）首先設(shè)出，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線，的方程，聯(lián)立得到交點(diǎn)的坐標(biāo).再設(shè)出直線的方程為，代入拋物線，利用根系關(guān)系即可得到點(diǎn)的軌跡方程.

（2）首先根據(jù)切線，的方程得到，，從而得到，.利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式得到，從而得到.令，得到，再利用基本不等式即可得到的最值.

（1）因?yàn)閽佄锞�，所以，.

設(shè)，，，.

則切線，的方程分別為和.

聯(lián)立解得交點(diǎn)的坐標(biāo)為:，.

設(shè)直線的方程為，代入，

整理得：，

所以，，且.

所以，，于是，

故點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）因?yàn)榍芯�的方程為，

令得到，同理：.

所以.

又，故.

由（1）可知，

又點(diǎn)到直線的距離為，

所以.

所以.

令，，則.

①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.

所以；

②當(dāng)時(shí)，

，，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.

所以；

綜上所述：的最小值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè)函數(shù)，，，

（1）求在處的切線的一般式方程；

（2）請(qǐng)判斷與的圖像有幾個(gè)交點(diǎn)?

（3）設(shè)為函數(shù)的極值點(diǎn)，為與的圖像一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且，證明：.

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A.54周歲以上參保人數(shù)最少B.18～29周歲人群參保總費(fèi)用最少

C.丁險(xiǎn)種更受參保人青睞D.30周歲以上的人群約占參保人群的80%

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（1）當(dāng)游戲開始時(shí)，若拋擲均勻骰子3次后，求棋子所走站數(shù)之和X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）證明：；

（3）若最終棋子落在第99站，則記選手落敗，若最終棋子落在第100站，則記選手獲勝，請(qǐng)分析這個(gè)游戲是否公平.

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（Ⅰ）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；

（Ⅱ）求曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值.

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（Ⅰ）若為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)存在極小值時(shí)，設(shè)極小值點(diǎn)為，求證：．

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（1）；

（2）；

（3）.

其中正確的命題個(gè)數(shù)為（ ）

A.B.C.D.

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