【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的極大值.

（2）當(dāng)時，證明函數(shù)有且只有一個零點(diǎn).

【答案】(1) 當(dāng)或時, 無極大值；

當(dāng)時的極大值為.

當(dāng)時的極大值為

【解析】

(1)求導(dǎo)得,再討論與1的關(guān)系判定即可.

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及極大值,結(jié)合單調(diào)性即可轉(zhuǎn)證,有解.參變分離可得,再分析的單調(diào)性求出值域即可判定有唯一解即可.

(1) .令可得.

①當(dāng)時,易得,故當(dāng)時,；當(dāng)時,.

故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,此時無極大值.

②當(dāng)時, 當(dāng)時, ；當(dāng)時,與.

故在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增.故函數(shù)的極大值為.

③當(dāng)時, 恒成立. 此時無極大值.

④當(dāng)時, 當(dāng)時, ；當(dāng)時,與.

故在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增.故函數(shù)的極大值為.

綜上所述, 當(dāng)或時, 無極大值；

當(dāng)時的極大值為.

當(dāng)時的極大值為

(2)由(1),當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增.

且極大值為.故當(dāng)時,.故在無零點(diǎn).

又因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增,故要證明函數(shù)有且只有一個零點(diǎn),即證明,有解即可.

參變分離有,令,

則.

因?yàn)?/span>,故考慮的正負(fù).

又,.

故為增函數(shù).

又,故,即.

故,故為增函數(shù).故.

故.故當(dāng)時恒有解.

即有且僅有一根.得證.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，分別是的邊，上的一點(diǎn)，，將沿折起為，使點(diǎn)位于點(diǎn)的位置，連接，，.

（1）若，分別是，的中點(diǎn)，平面與平面的交線為，證明：；

（2）若平面平面，與的面積分別為4和9，，求三棱錐的體積.

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【題目】2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內(nèi)報名人數(shù)便突破60萬，其中青年學(xué)生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學(xué)生志愿者中，按男女分層抽樣隨機(jī)選取20人進(jìn)行英語水平測試，所得成績(單位:分)統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下:

(Ⅰ)試估計(jì)在這50萬青年學(xué)生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);

(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機(jī)選取個人作為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)

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【題目】超級病菌是一種耐藥性細(xì)菌，產(chǎn)生超級細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因?yàn)楦腥径鹂膳碌难装Y，高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細(xì)菌，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：

（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；

（2）混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗(yàn)，此時這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次，假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p（）.

（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；

（2）現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.

（i）試運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識，若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；

（ii）若，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.

參考數(shù)據(jù)：，，，，

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【題目】記表示m，n中的最大值，如.已知函數(shù)，.

（1）設(shè)，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)；

（2）試探討是否存在實(shí)數(shù)，使得對恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由.

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【題目】如圖，為矩形的邊上一點(diǎn)，且，將沿折起到，使得.



（1）證明：平面平面；

（2）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若在處的切線與軸平行，求的極值；

（2）當(dāng)或時，試討論方程實(shí)數(shù)根的個數(shù).

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【題目】已知函數(shù)f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a為常數(shù)，且曲線y=f（x）在其與y軸的交點(diǎn)處的切線記為l1，曲線y=g（x）在其與x軸的交點(diǎn)處的切線記為l2，且l1∥l2．

（1）求l1，l2之間的距離；

（2）若存在x使不等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）對于函數(shù)f（x）和g（x）的公共定義域中的任意實(shí)數(shù)x0，稱|f（x0）-g（x0）|的值為兩函數(shù)在x0處的偏差．求證：函數(shù)f（x）和g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

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【題目】選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)．

（1）證明：；

（2）若不等式的解集是非空集，求的范圍．

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