Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，過右焦點(diǎn)F且與x軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+t（t≠0）與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，直線AO平分線段MN，求△OMN的面積的最大值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由題意，

c

a

=

2

2

，

2b2

a

=

2

．
∴a=

2

，b=1
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，

2

2

），∴直線AO的方程為y=

2

2

x．
y=kx+t（t≠0）代入橢圓C的方程，消去y得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），中點(diǎn)P（x₀，y₀），由韋達(dá)定理得x₀=-

2kt

1+2k2

，y₀=

t

1+2k2

．
由點(diǎn)P在直線y=

2

2

x上，得k=-

2

2

．
∴x₁+x₂=-

2

t，x₁x₂=t²-1，
|MN|=

1+ 1 2

•|x₁-x₂|=

6-3t2

又點(diǎn)O到直線MN的距離d=

|t|

3 2

．
∴△OMN的面積為

2

•

t2(2-t2)

≤

2

•

t2+2-t2

2

=

2

，
∴當(dāng)t=±1時(shí)，△OMN的面積取最大值

2

，直線l的方程為y=-

2

2

x±1．