【題目】如圖,在南北方向有一條公路,一半徑為100m的圓形廣場(圓心為O)與此公路一邊所在直線l相切于點(diǎn)A.點(diǎn)P為北半圓。ɑPB)上的一點(diǎn),過P作直線l的垂線,垂足為Q.計(jì)劃在△PAQ內(nèi)(圖中陰影部分)進(jìn)行綠化.設(shè)△PAQ的面積為S(單位:m2).
(1)設(shè)∠BOP=α(rad),將S表示為α的函數(shù);
(2)確定點(diǎn)P的位置,使綠化面積最大,并求出最大面積.
【答案】
(1)解:AQ=100sinα,PQ=100+100cosα,α∈(0,π),
則△PAQ的面積
=5000(sinα+sinαcosα),(0<α<π)
(2)解:S/=5000(cosα+cos2α﹣sin2α)
=5000(2cos2α+cosα﹣1)
=5000(2cosα﹣1)(cosα+1),
令 ,cosα=﹣1(舍去),此時 .
當(dāng) 關(guān)于α為增函數(shù);
當(dāng) 關(guān)于α為減函數(shù).
∴當(dāng) 時, (m2),此時PQ=150m.
答:當(dāng)點(diǎn)P距公路邊界l為150m時,綠化面積最大,
【解析】(1)若∠BOP=α,則P點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)中,x=AQ=100sinα,y=PQ=100+100cosα,α∈(0,π),根據(jù)三角形面積公式,我們易將S表示為α的函數(shù).(2)由(1)中結(jié)論,我們可利用導(dǎo)數(shù)法,判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求出函數(shù)的最大值,即最大綠化面積.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某批產(chǎn)品共有1 564件,產(chǎn)品按出廠順序編號,號碼從1到1 564,檢測員要從中抽取15件產(chǎn)品作檢測,請給出一個系統(tǒng)抽樣方案.
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【題目】已知函數(shù), .
(1)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)是否存在整數(shù), ,使得的解集恰好是,若存在,求出, 的值;若不存在,說明理由.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程: ,直線l的參數(shù)方程為 .
(1)若直線l與曲線C只有一個公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a;
(2)若點(diǎn)P,Q分別為直線l與曲線C上的動點(diǎn),若 ,求實(shí)數(shù)a.
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【題目】已知冪函數(shù)為偶函數(shù).
(1)求的解析式;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖像時,列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表:
0 | |||||
0 | 5 | 0 | -5 | 0 |
(1)求出實(shí)數(shù);
(2)求出函數(shù)的解析式;
(3)將圖像上所有點(diǎn)向左平移個單位長度,得到圖像,求的圖像離原點(diǎn)最近的對稱中心.
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【題目】已知函數(shù) ,
(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn) 處的切線方程;
(2)當(dāng) 時,求證: ;
(3)若 對任意的 恒成立,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,當(dāng) 時,函數(shù) 取得極值 .
(Ⅰ)求函數(shù) 的解析式;
(Ⅱ)若方程 有3個不等的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)若函數(shù)沒有零點(diǎn),求得取值范圍;
(3)若函數(shù), 的最小值為0,求實(shí)數(shù)的值.
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