已知向量
a
,
b
的夾角為60°,且|
a
|=1,|
b
|=2
,設(shè)
m
=3
a
-
b
n
=t
a
+2
b

(1)求
a
b
;  (2)試用t來(lái)表示
m
n
的值;(3)若
m
n
的夾角為鈍角,試求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)由已知中向量
a
b
的夾角為60°,且|
a
|=1,|
b
|=2
,代入向量數(shù)量積公式,易求出
a
b
;  
(2)根據(jù)已知中
m
=3
a
-
b
,
n
=t
a
+2
b
,結(jié)合向量
a
,
b
的夾角為60°,且|
a
|=1,|
b
|=2
,代入向量數(shù)量積公式,即可表示出
m
n
的值;
(3)若
m
n
的夾角為鈍角,于是
m
n
<0
m
n
不平行,根據(jù)(2)中結(jié)論,構(gòu)造關(guān)于t的不等式組,解不等式組,即可得到實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解答:解:(1)∵向量
a
b
的夾角為60°,且|
a
|=1,|
b
|=2
,
a
b
=1×2×cos60°=1
;  …(3分)
(2)∵
m
=3
a
-
b
,
n
=t
a
+2
b

m
n
=(3
a
-
b
)•(t
a
+2
b
)=3t
a
2
+(6-t)
a
b
-2
b
2
=3t+6-t-2×4=2t-2
…(3分)
(3)夾角為鈍角,于是
m
n
<0
m
n
不平行.
其中
m
n
<0⇒t<1
,而
m
n
⇒t=-6

于是實(shí)數(shù)t的取值范圍是t∈(-∞,-6)∪(-6,1).…(3分),其中沒(méi)排除平行情況扣(2分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,熟練掌握平面向量的數(shù)量積公式,是解答本題的關(guān)鍵,(3)中易忽略t=-6時(shí),向量
m
n
反向的情況,而錯(cuò)解為(-∞,1)
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
b
的夾角為
π
3
,|
a
|=
2
,則
a
b
方向上的投影為(  )
A、
3
B、
2
C、
2
2
D、
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
b
的夾角為45°,且|
a
|=4,(
1
2
a
+
b
)•(2
a
-3
b
)=12,則|
b
|=
 
;
b
a
上的投影等于
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
b
的夾角為120°,且|
a
|=|
b
|=4
,那么
b
•(2
a
+
b
)
的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•煙臺(tái)二模)已知向量
a
b
的夾角為120°,|
a
|=|
b
|=1.
c
a
+
b
共線(xiàn),|
a
+
c
|的最小值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•閘北區(qū)二模)已知向量
a
b
的夾角為120°,|
a
|=2
,且(2
a
+
b
)⊥
a
,則|
b
|
=________(  )

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