Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-（1+a）x-1
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）當a＜1時，證明：對任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜-

lnx

x

-a（x+1）．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導函數(shù)以及函數(shù)的定義域，（1）當a≤-1時，f′（x）的符號，判斷f（x）的單調性．（2）當a＞-1時，由f′（x）的符號以及好的單調性．
（Ⅱ）當a＜1時，要證f(x)＜-

lnx

x

-a(x+1)在（0，+∞）上恒成立，轉化為只需證lnx-x＜-

lnx

x

-a(x+1)在（0，+∞）上恒成立，構造函數(shù)F(x)=lnx-x，g(x)=--

lnx

x

+1-a，求出兩個函數(shù)的導函數(shù)，然后求解兩個函數(shù)的最值，通過F（x）_max＜g（x）_min，得到a＜1時，對任意的x∈（0，+∞），f(x)＜-

lnx

x

-a(x+1)恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）由題知f/(x)=

1

x

-(a+1)=

1-(a+1)x

x

(x＞0)…（1分）
（1）當a≤-1時，f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增…（3分）
（2）當a＞-1時，由f′（x）＞0得x∈(0，

1

a+1

)，由f′（x）＜0得x∈(

1

a+1

，+∞)
即f（x）在(0，

1

a+1

)上遞增；  在上(

1

a+1

，+∞)上遞減…（5分）
綜上所述：當a≤-1時，f（x）在（0，+∞）上遞增；
當a＞-1時，f（x）在x∈(0，

1

a+1

)上遞增，在x∈(

1

a+1

，+∞)上遞減…（6分）
（Ⅱ）當a＜1時，要證f(x)＜-

lnx

x

-a(x+1)在（0，+∞）上恒成立
只需證lnx-x＜-

lnx

x

-a(x+1)在（0，+∞）上恒成立
令F(x)=lnx-x，g(x)=--

lnx

x

+1-a，因為F′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

易得F（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，故F（x）≤F（1）=-1…（8分）
由g(x)=-

lnx

x

+1-a得g′(x)=-

1-lnx

x2

=

lnx-1

x

(x＞0)
當0＜x＜e時，g′（x）＜0；     當x＞e時，g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，e）上遞減，在（e，+∞）上遞增．
所以g(x)≥g(e)=-

1

e

+1-a…（10分）
又a＜1，∴-

1

e

+1-a＞-

1

e

＞-1，即F（x）_max＜g（x）_min
所以lnx-x＜-

lnx

x

-a(x+1)在（0，+∞）上恒成立
故當a＜1時，對任意的x∈（0，+∞），f(x)＜-

lnx

x

-a(x+1)恒成立…（13分）

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)的最值與函數(shù)的恒成立的關系的應用，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用同時考查了構造法的應用．