【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程并指出其形狀;
(2)設(shè)是曲線上的動點,求的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)直接根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程互化公式求解得到其直角坐標(biāo)方程,然后,再將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷其形狀;(2)依據(jù)曲線的參數(shù)方程,可以設(shè)該點的三角形式,然后,借助于三角函數(shù)的有界性求最值.
試題解析:(1)由ρ2-4ρcos+7=0可得ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0,化為直角坐標(biāo)方程得x2+y2-4x-4y+7=0,即(x-2)2+(y-2)2=1,它表示以(2,2)為圓心,以1為半徑的圓.
(2)由題意可設(shè)x=2+cosθ,y=2+sinθ,則t=(x+1)(y+1)=(3+cosθ)(3+sinθ)=9+3(sinθ+cosθ)+sinθcosθ.
令sinθ+cosθ=m,平方可得1+2sinθcosθ=m2,
所以sinθcosθ=,t=9+3m+=m2+3m+(-≤m≤).由二次函數(shù)的圖象可知t的取值范圍為.
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【題目】已知=(sinx,cosx),=(cosφ,sinφ)(|φ|<).函數(shù)
f(x)= 且f(-x)=f(x).
(Ⅰ)求f(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)將f(x)的圖象向右平移單位得g(x)的圖象,若g(x)+1≤ax+cosx在x∈[0, ]上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的最小值;
(Ⅱ)設(shè)(),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若斜率為的直線與曲線交于,兩點,其中,求證:.
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【題目】已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),當(dāng)時,曲線上對應(yīng)的點為.以原點為極點,以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(I)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(II)設(shè)曲線與的公共點為,,求的值.
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【題目】已知橢圓: 的離心率為,且過點.若點在橢圓上,則點稱為點的一個“橢點”.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線: 與橢圓相交于, 兩點,且, 兩點的“橢點”分別為, ,以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,試求的面積.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)求曲線和公共弦的長度.
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【題目】某幼兒園為訓(xùn)練孩子的數(shù)字運算能力,在一個盒子里裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5的卡片各2張,讓孩子從盒子里任取3張卡片,按卡片上最大數(shù)字的9倍計分,每張卡片被取出的可能性都相等,用X表示取出的3張卡片上的最大數(shù)字
(1)求取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率;
(2)求隨機變量x的分布列;
(3)若孩子取出的卡片的計分超過30分,就得到獎勵,求孩子得到獎勵的概率
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|-|x-4|.
(1)解不等式f(x)>2;
(2)若函數(shù)f(x)≥m恒成立,求m的最大整數(shù)值.
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【題目】已知圓的圓心在軸上,半徑為1,直線被圓所截的弦長為,且圓心在直線的下方.
(1)求圓的方程;
(2)設(shè),若圓是的內(nèi)切圓,求的面積的最大值和最小值.
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