Question

已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．過(guò)左焦點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．設(shè)，延長(zhǎng)，分別與橢圓交于兩點(diǎn)．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；  （II）若點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（III）設(shè)直線的斜率為，求證：為定值．

Answer 1

解：（I）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由橢圓的定義知,
.  ----------------2分
所以，,
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.  ---------------4分
（II）直線的方程為，
代入橢圓方程，得
解得（舍），或.    --------------6分
代入直線的方程，得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.  ---------------7分
（III）設(shè)，，，，
直線的方程為，所以.
代入橢圓方程，消去得：
.   --------------8分
又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，有
方程化簡(jiǎn)為.     -----------------9分
則，且，所以.
代入直線的方程，得，所以 .  -------------10分
同理，

.  ------------------12分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823204312599554.png" style="vertical-align:middle;" />三點(diǎn)共線，所以.
即.  --------------------13分
所以，而.
所以為定值.  -------------------14分

略