在平面直角坐標系中，已知點，是動點，且的三邊所在直線的斜率滿足．
（1）求點的軌跡的方程；
（2）若是軌跡上異于點的一個點，且，直線與交于點，問：是否存在點，使得和的面積滿足？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

（1）（且）,（2）

解析試題分析：（1）點的軌跡的方程,就是找出點橫坐標與縱坐標的關系式，而條件中只有點為未知，可直接利用斜率公式化簡,得點的軌跡的方程為，求出軌跡的方程后需結合變形過程及觀察圖像進行去雜，本題中分母不為零是限制條件，（2）本題難點在于對條件的轉化，首先條件說明的是，其次條件揭示的是，兩者結合轉化為條件，到此原題就轉化為：已知斜率為的過點直線被拋物線截得弦長為，求點的坐標.
試題解析：

（1）設點為所求軌跡上的任意一點，則由得，
，整理得軌跡的方程為（且）．  3分
（2）:學設由可知直線，
則，故，即，   5分
直線OP方程為： ①； 直線QA的斜率為：，
∴直線QA方程為：，即 ②
聯(lián)立①②，得，∴點M的橫坐標為定值．       8分
由，得到，因為，所以，
由，得，∴的坐標為．
∴存在點P滿足，的坐標為． 10分
考點：軌跡方程，直線與拋物線位置關系

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知直線l：y＝x＋，圓O：x2＋y2＝5，橢圓E：＝1(a>b>0)的離心率e＝，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證：兩條切線的斜率之積為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知定點A (p為常數(shù)，p>0)，B為x軸負半軸上的一個動點，動點M使得|AM|＝|AB|，且線段BM的中點G在y軸上．

(1)求動點M的軌跡C的方程；
(2)設EF為曲線C的一條動弦(EF不垂直于x軸)，其垂直平分線與x軸交于點T(4,0)，當p＝2時，求|EF|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動點P到點A(－2,0)與點B(2,0)的斜率之積為－，點P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；
(2)若點Q為曲線C上的一點，直線AQ，BQ與直線x＝4分別交于M，N兩點，直線BM與橢圓的交點為D.求證，A，D，N三點共線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓過點，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求過點且斜率為的直線被橢圓所截得線段的中點坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設一個焦點為,且離心率的橢圓上下兩頂點分別為,直線交橢圓于兩點,直線與直線交于點.
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：三點共線.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

拋物線在點，處的切線垂直相交于點，直線與橢圓相交于，兩點．

（1）求拋物線的焦點與橢圓的左焦點的距離；
（2）設點到直線的距離為，試問：是否存在直線，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知點，動點在軸上的正射影為點，且滿足直線.
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）當時，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知兩點，直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為.
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標為1，直線PE、PF與圓（）相切于點E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值（其中點O為坐標原點）.

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