Question

【題目】如圖，在四棱錐 中， 底面 ，底面 為直角梯形， ， ， ， 為 的中點(diǎn)，平面 交 于 點(diǎn).、

（1）求證： ；
（2）求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）證明：因?yàn)? ， 分別為 ， 的中點(diǎn)， ，所以 .

因?yàn)? ，所以 .

因?yàn)? 底面 ，所以 .

因?yàn)? ，所以 平面 .

所以 .

因?yàn)? ，所以 平面

因?yàn)? 平面 ，所以 .

（2）證明：如圖，以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 .

則 ， ， ， ， .

由（1）可知， 平面 ，

所以平面 的法向量為 .

設(shè)平面 的法向量為

因?yàn)? ， ，

所以 即

令 ，則 ， ，

所以 ，所以

所以二面角 的余弦值 .

【解析】(1)首先根據(jù)題意利用線面垂直的判定定理可證明 P B ⊥ 平面 A D N M，然后由線面垂直得到線線垂直。(2)由題意以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 A x y z，分別求出平面 A D M N 和平面 P D N 的法向量，再根據(jù)兩個(gè)法向量的夾角即為二面角的平面角的大小結(jié)合向量的數(shù)量積公式即可求出夾角的余弦值。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定和直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行才能正確解答此題．