已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)y=滿足條件：對于任意實數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求f(0)；(2) 求證：是奇函數(shù)；(3) 若時，，求在上的值域.

 

【答案】

（1）f(0)=0；(2)證明見解析；(3)證明見解析；值域[-4，2]。

【解析】本題考點是抽象函數(shù)及其運用，考查靈活賦值求函數(shù)值以及運用恒等式靈活變形證明函數(shù)的單調性，利用復合函數(shù)的單調性判斷方程的根的個數(shù)，本題涉及到的考點較多，知識性與技巧性都很強，是知識完善結合的一個好題．

（1）令令x=y=0，代入恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）即可求得．

（2）通過賦值法可知函數(shù)的奇偶性

（3）根據(jù)定義法證明函數(shù)的單調性然后，利用單調性得到值域。

（1）f(0)=0；3分

(2)證明略；9分

(3)證明單調性 13分

值域[-4，2]  15分

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調減函數(shù)，則不等式f（1）＞f（log2x）的解集為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

23、已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x），其導函數(shù)為f'（x），滿足兩個條件：①對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy成立；②f'（0）=2．
（1）求函數(shù)的f（x）的表達式；
（2）對任意x1，x2∈[-1，1]，求證：|f（x1）-f（x2）|≤4|x1-x2|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）的圖象是拋物線的一部分，且該拋物線經過點（1，0）、（3，0）和（0，3）．
（1）求出f（x）的解析式；
（2）寫出f（x）的單調區(qū)間；
（3）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|y=t，x∈R，t∈R}，若A∩B有4個元素，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足：（1）f（-x）=f（x）；（2）f（4+x）=f（x）；若當 x∈[0，2]時，f（x）=-x2+1，則當x∈[-6，-4]時，f（x）等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x），同時滿足以下三個條件：
①f（-1）=2；②x＜0時，f（x）＞1；③對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）；
（1）求f（0），f（-4）的值； 
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調性，并求出不等式f(-4x2)f(10x)≥
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的解集．

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