精英家教網(wǎng)已知雙曲線x2-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,動直線l:y=kx+m與圓x2+y2=1相切,且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為P1(x1,y1),P2(x2,y2).
(1)求k的取值范圍,并求x2-x1的最小值;
(2)記直線P1A1的斜率為k1,直線P2A2的斜率為k2,那么k1•k2是定值嗎?證明你的結(jié)論.
分析:(1)由l與圓相切,知m2=1+k2,由
y=kx+m
x2-y2=1
,得(1-k2)x2-2mkx-(m2+1)=0,所以
1-k2≠0
△=4m2k2+4(1-k2)
x1x2=
m2+1
k2-1
<0
(m2+1)=4(m2+1-k2)=8>0
由此能求出k的取值范圍和x2-x1的最小值.
(2)由已知可得A1,A2的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),k1=
y1
x1+1
,k2=
y2
x2-1
k1k2=
y1y2
(x1+1)(x2-1)
=
(kx1+m)(kx2+m)
(x1+1)(x2-1)
.由此能證明k1•k2是定值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵l與圓相切,∴1=
|m|
1+k2
∴m2=1+k2(2分)
y=kx+m
x2-y2=1
,得(1-k2)x2-2mkx-(m2+1)=0,∴
1-k2≠0
△=4m2k2+4(1-k2)
x1x2=
m2+1
k2-1
<0
(m2+1)=4(m2+1-k2)=8>0
,∴k2<1,∴-1<k<1,故k的取值范圍為(-1,1).(5分)
由于x1+x2=
2mk
1-k2
x2-x1=
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
2
|1-k2|
=
2
2
1-k2
,
∵0≤k2<1∴當(dāng)k2=0時,x2-x1取最小值2
2
.(7分)
(2)由已知可得A1,A2的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),
k1=
y1
x1+1
,k2=
y2
x2-1
,∴k1k2=
y1y2
(x1+1)(x2-1)
=
(kx1+m)(kx2+m)
(x1+1)(x2-1)
(10分)
=
k2x1x2+mk(x1+x2)+m2
x1x2+(x2-x1)-1
=
k2
m2+1
k2-1
-mk•
2mk
k2-1
+m2
m2+1
k2-1
-
2
2
k2-1
-1

=
m2k2+k2-2m2k2+m2k2-m2
m2+1-2
2
-k2+1
=
k2-m2
m2-k2+2-2
2
,
由m2-k2=1,∴k1k2=
-1
3-2
2
=-(3+2
2
)
為定值.(14分)
點(diǎn)評:本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識.考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.
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F1M
=
F1A
+
F1B
+
F1O
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x2
16
+
y2
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x2
16
+
y2
9
=1
的一個頂點(diǎn),則a=
2
2

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