如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，, 點是的中點，，且交于點 .
（I）求證：平面；
（II）求二面角的余弦值大��；
（III）求證：平面⊥平面.
（Ⅰ）證明見解析（II）二面角的余弦值為．（III）證明見解析
（Ⅰ）證明：連結交于，連結.
是正方形，∴是的中點. ----------1分
是的中點，∴是的中位線. ∴. ----------2分
又∵平面，平面，----------3分
∴平面.------------------4分
（II）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，
由故設，則
. ----------6分
底面，
∴是平面的法向量，．----------7分
設平面的法向量為,
,
則 即 
∴           令,則. ----------9分
∴,
∴二面角的余弦值為．------------------10分
（III），，
----------11分
  又且.----------12分
. 又平面   ----------13分
∴平面⊥平面.    ------------------14分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體中，點在棱的延長線上，
且．

(Ⅰ) 求證：//平面 ；(Ⅱ) 求證：平面平面；
（Ⅲ）求四面體的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知三棱錐P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，

D、F分別為AC、PC的中點，DE⊥AP于E．
（1）求證：AP⊥平面BDE；                
（2）求證：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱錐
P—ABC所成兩部分的體積比．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，平面平面ABCD，ABCD為正方形，是直角三角形，且，E、F、G分別是線段PA，PD，CD的中點.
（1）求證：∥面EFC；
（2）求異面直線EG與BD所成的角；

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是正方形，平面．，，是上的點．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

四棱錐的底面為正方形，底面，，為上的點.
（1）求證：無論點在上如何移動，都有；
（2）若//平面，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示：四棱錐P-ABCD底面一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點.
（1）證明：EB∥平面PAD；
（2）若PA=AD，證明：BE⊥平面PDC；
（3）當PA=AD=DC時，求二面角E-BD-C的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。
（I）求二面角P—CD—A的正切值；
（II）求點A到平面PBC的距離。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

A．2a2B．a(chǎn)2
C．D．

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