(2013•永州一模)某企業(yè)為加大對新產(chǎn)品的推銷力度,決定從今年起每年投入100萬元進(jìn)行廣告宣傳,以增加新產(chǎn)品的銷售收入.已知今年的銷售收入為250萬元,經(jīng)市場調(diào)查,預(yù)測第n年與第n-1年銷售收入an與an-1萬元滿足關(guān)系式:an=an-1+
5002n
-100.
(1)設(shè)今年為第一年,求第n年的銷售收入an
(2)依上述預(yù)測,該企業(yè)前幾年的銷售收入總和Sn最大.
分析:(1)在數(shù)列遞推式中分別取n=n,n=n-1,…,n=2,寫出a1=250=
500
2
,累加后即可得到第n年的銷售收入an
(2)企業(yè)前n年的銷售收入總和Sn的最大值即為年銷售收入大于零的所有年銷售收入的和,由an≥0得到
1
2n
+
n-1
5
≤1.求出滿足bn=
1
2n
+
n-1
5
≤1的n的值即可得到答案.
解答:解:(1)題意可知an-an-1=
500
2n
-100

an-1-an-2=
500
2n-1
-100


a3-a2=
500
23
-100

a2-a1=
500
22
-100

a1=250=
500
2

以上各式相加得:
an=500(
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
)-100(n-1)

=500•
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
-100n+100

=500-
500
2n
-100(n-1)
 
(2)要求銷售收入總和Sn的最大值,即求年銷售收入大于零的所有年銷售收入的和.
∵an=500-
500
2n
-100(n-1)

要使an≥0,
即使500-
500
2n
-100(n-1)
≥0,
也就是使
1
2n
+
n-1
5
≤1.
令bn=
1
2n
+
n-1
5
,
則有bn-bn-1=
1
2n
+
n-1
5
-
1
2n-1
-
n-2
5
=
1
5
-
1
2n

顯然,當(dāng)n≥3時,bn>bn-1,
而b5<1,b6>1
∴a5>0,a6<0
∴該企業(yè)前5年的銷售收入總和最大.
點評:本題考查了數(shù)列遞推式,考查了類加法求數(shù)列的通項公式,訓(xùn)練了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,考查了數(shù)列的函數(shù)特性,是中檔題.
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(2013•永州一模)已知函數(shù)f(x)=mlnx+
1
x
,(其中m為常數(shù))
(1)試討論f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)令函數(shù)h(x)=f(x)+
1
m
lnx
-x.當(dāng)m∈[2,+∞)時,曲線y=h(x)上總存在相異兩點P(x1,f(x1))、Q(x2,f(x2)),使得過P、Q點處的切線互相平行,求x1+x2的取值范圍.

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k
250-x
.當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0千米/小時.
(Ⅰ)當(dāng)0<x≤200時,求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)當(dāng)車流密度x為多大時,車流量(單位時間內(nèi)通過橋上觀測點的車輛數(shù),單位:輛/小時)f(x)=x•v(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到個位,參考數(shù)據(jù)
5
≈2.236

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AB
|=2,則
AB
AC
=
2
2

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