(2013•永州一模)已知函數(shù)f(x)=mlnx+
1
x
,(其中m為常數(shù))
(1)試討論f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)令函數(shù)h(x)=f(x)+
1
m
lnx
-x.當(dāng)m∈[2,+∞)時,曲線y=h(x)上總存在相異兩點(diǎn)P(x1,f(x1))、Q(x2,f(x2)),使得過P、Q點(diǎn)處的切線互相平行,求x1+x2的取值范圍.
分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),對m分類討論,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),即可得到f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)利用過P、Q點(diǎn)處的切線互相平行,建立方程,結(jié)合基本不等式,再求最值,即可求x1+x2的取值范圍.
解答:解:(1)∵f′(x)=
m
x
-
1
x2
=
mx-1
x2
(x>0)
∴m≤0時,f′(x)<0,f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù);
m>0時,f′(x)>0可得x>
1
m
,f′(x)<0可得x<
1
m

∴函數(shù)f(x)在(0,
1
m
)上是減函數(shù),在(
1
m
,+∞)上是增函數(shù);
(2)由題意,可得h′(x1)=h′(x2)(x1,x2>0,且x1≠x2
m+
1
m
x1
-
1
x12
-1
=
m+
1
m
x2
-
1
x22
-1
 
x1+x2=(m+
1
m
)x1x2
    
∵x1≠x2,由不等式性質(zhì)可得x1x2<(
x1+x2
2
)2
恒成立,
又x1,x2,m>0
x1+x2<(m+
1
m
)(
x1+x2
2
)2

x1+x2
4
m+
1
m
對m∈[2,+∞)恒成立
令g(m)=m+
1
m
(m≥2),則g′(m)=
(m+1)(m-1)
m2
>0
對m∈[2,+∞)恒成立
∴g(m)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,∴g(m)≥g(2)=
5
2
             
4
m+
1
m
4
g(2)
=
8
5
                                
∴x1+x2的取值范圍為(
8
5
,+∞
).
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的最值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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k
250-x
.當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0千米/小時.
(Ⅰ)當(dāng)0<x≤200時,求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)當(dāng)車流密度x為多大時,車流量(單位時間內(nèi)通過橋上觀測點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/小時)f(x)=x•v(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到個位,參考數(shù)據(jù)
5
≈2.236

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AB
|=2,則
AB
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=
2
2

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