【題目】從某企業(yè)生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：

(1)求這500件產品質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(2)由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2.

(ⅰ)利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)；

(ⅱ)某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產品，記X表示這100件產品中質量指標值位于區(qū)間(187.8，212.2)的產品件數(shù).利用(ⅰ)的結果，求E(X).

附： ≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.

【答案】（1）150（2）(ⅰ) 0.6826. (ⅱ) 68.26.

【解析】試題分析：

(1)利用題中所給的數(shù)據(jù)可得平均數(shù) ，方差 ；

(2)利用正態(tài)分布的對稱性可得：P(187.8<Z<212.2)＝0.6826.

(3)利用(i)的結論結合題意可得 .

試題解析：

(1)抽取產品的質量指標值的樣本平均數(shù)x－和樣本方差s2分別為

＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，

s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

(2)(ⅰ)由(1)知，Z～N(200，150)，從而

P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826.

(ⅱ)由(ⅰ)知，一件產品的質量指標值位于區(qū)間(187.8，212.2)的概率為0.682 6，依題意知X～B(100，0.6826)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.

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空氣質量指數(shù)

空氣質量等級

級優(yōu)

級良

級輕度污染

級中度污染

級重度污染

級嚴重污染

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