Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（

x

2

+

π

6

）cos

x

2

+

1

2

，x∈R，
（1）求f（x）的最小正周期、對(duì)稱中心及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[o，π]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得其最少正周期，對(duì)稱中心及遞增區(qū)間．
（2）根據(jù)x的范圍和三角函數(shù)的圖象求得函數(shù)最大和最小值．

解答： （1）解：f（x）=2sin（

x

2

+

π

6

）cos

x

2

+

1

2

=2（

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

）cos

x

2

+

1

2

=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

+

1

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1
=sin（x+

π

6

）+1
T=

2π

1

=2π，
令x+

π

6

=kπ，k∈Z，x=kπ-

π

6

，
∴函數(shù)的對(duì)稱中心為（kπ-

π

6

，1），
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，即2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（2）∵x∈[0，π]，
∴

π

6

≤x+

π

6

≤

7π

6

，
∴

1

2

≤sin（x+

π

6

）+1≤2
即函數(shù)的最大值2，最小值

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)．要求學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的圖象能熟練掌握．