Question

的內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)分別為,已知，內(nèi)切圓圓心,設(shè)點(diǎn)A的軌跡為R.

（1）求R的方程；
（2）過點(diǎn)C的動(dòng)直線m交曲線R于不同的兩點(diǎn)M,N，問在x軸上是否存在一定點(diǎn)Q（Q不與C重合），使恒成立，若求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

Answer 1

(1) ；(2)存在

試題分析：(1)根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得，AB-AC=2.根據(jù)雙曲線的定義可得點(diǎn)A的軌跡是雙曲線的一支，即可得到軌跡方程.
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240425415851176.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立，通過化簡(jiǎn)可得等價(jià)結(jié)論，QC為∠MQN的角平分線.由直線MN垂直于x軸，顯然存在點(diǎn)Q.當(dāng)MN不垂直x軸時(shí)，依題意所求的結(jié)論等價(jià)轉(zhuǎn)化于，通過聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，即可求得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo).
試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)，由題知|AB|-|AC|=|BE|-|CE|=|CE|+2|OE|-|CE|=2   
根據(jù)雙曲線定義知，點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支除去點(diǎn)E（1，0），故R的方程為
（2）設(shè)點(diǎn)由（I）可知


    ①當(dāng)直線軸時(shí)
點(diǎn)在軸上任何一點(diǎn)處都能使得成立
②當(dāng)直線MN不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線
由得


要使，只需成立即即

即   故,故所求的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為時(shí)
使成立.