【題目】已知圓,直線過點(diǎn)

(1)求圓的圓心坐標(biāo)和半徑;

(2)若直線與圓相切,求直線的方程;

(3)若直線與圓相交于P,Q兩點(diǎn),求三角形CPQ的面積的最大值,并求此時(shí)

直線的方程.

【答案】(1), 2;(2);(3) 2,,或

【解析】試題分析:

(1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心的圓心坐標(biāo)為,半徑為2

(2)分類討論直線的斜率是否存在可得直線的方程是

(3)由題意得到△ABC的面積函數(shù),由均值不等式的結(jié)論可得面積的最大值為2,此時(shí)直線的方程是,或

試題解析:

(1)圓心的圓心坐標(biāo)為,半徑為2;

(2)①若直線的斜率不存在,則直線,符合題意;

②若直線斜率存在,設(shè)直線的方程為,即,

由題意知,圓心到已知直線的距離等于半徑2,

,解得

所求直線的方程是;

(3)方法1:直線與圓相交,斜率必定存在,且不為0,設(shè)直線方程為,

則圓心到直的距離

又∵三角形CPQ面積

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),三角形CPQ的面積的最大值為2,

,有,或

此時(shí)直線方程為,或

方法2:

當(dāng)時(shí),取最大值2,

此時(shí)點(diǎn)的距離為,

設(shè),

,解得,

故所求直線的方程為.

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